Uzunmüddətli yaxınlaşma: ruletdə böyük ədədlər qanunu
Ortalamanın −2,70%-ə necə yaxınlaşdığı və bunun intuisiyanın düşündüyündən niyə daha uzun çəkdiyi.
Hər fırlanmada orta itki fırlanmalar toplandıqca −1/37-yə yaxınlaşır; yayılma 1/√N kimi azalır. Qırmızıya edilən 1.000 fırlanmadan sonra orta adətən gözləntidən ±3% daxilində olur.
Böyük ədədlər qanunu
Müstəqil mərclərin davamlı ortalaması gözlənilən dəyərəriyaziyyatGözlənilən dəyərUzun müddətdə hər mərc üzrə orta nəticə. Hər standart Avropa mərcində mərc məbləğinin −1/37-si.Tam oxuyun → meyl edir. Bir vahidpulVahidSistemin və ya oyunçunun işlədiyi əsas mərc məbləği. Proqressiyalar vahidlərlə təsvir edilir ki, istənilən masaya tətbiq olunsun.Tam oxuyun →lə N bərabər ödənişli fırlanmadan sonra fırlanma başına orta nəticənin gözləntisi −1/37, standart kənarlaşmasıriyaziyyatStandart kənarlaşmaDispersiyanın kvadrat kökü; nəticənin gözlənilən dəyərdən tipik uzaqlığı.Tam oxuyun → isə 1/√N-dir. N = 100 olduqda bu yayılma mərc məbləğinin 10%-i, yəni 2,7%-lik siqnaldan təxminən dörd dəfə böyükdür. N = 1.000 olduqda 3,2%-dir, siqnalla təxminən eynidir. N = 10.000 olduqda 1%-dir və üstünlük aydın görünür. Üstünlük sessiyada görünməz, bir ildə isə danılmazdır.
Nə yaxınlaşır, nə yaxınlaşmır
Fırlanma başına orta yaxınlaşır. Cəm yaxınlaşmır: N böyüdükcə gözləntidə N-in təxminən 2,7%-i qədər sıfırdan uzaqlaşır; onun ətrafında √N yayılması olur. Hər fırlanmaya $10 ilə 10.000 fırlanma etmiş oyunçunun təxminən $2.700 geridə olması, təxminən $1.000 fərqlə gözlənilir. qırmızılarınmərcQırmızı18 qırmızı rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: rouge.Tam oxuyun → cari nisbəti çoxdan 48,65%-ə yaxınlaşıb; cari balans isə heç yerə yaxınlaşmayıb.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
İntuisiya niyə yanılır
İnsanlar üstünlüyün tez görünəcəyini gözləyirlər, çünki 2,70% böyük səslənir; həmçinin böyük ədədlər qanunuriyaziyyatBöyük ədədlər qanunuSınaqların sayı artdıqca müstəqil nəticələrin ortasının gözlənilən dəyərə yaxınlaşması.Tam oxuyun → ortalamaların yaxınlaşdığını dediyi üçün uzun seriyaların “bərabərləşəcəyini” gözləyirlər. Hər iki intuisiya miqyası səhv qiymətləndirir: üstünlük bir fırlanmanın dispersiyasıriyaziyyatDispersiyaNəticələrin gözlənilən dəyər ətrafında nə qədər geniş səpələndiyini ölçən göstərici. Tək rəqəm mərcində yüksək, bərabər ödənişli mərclərdə aşağıdır.Tam oxuyun → ilə müqayisədə kiçikdir (EV = 0,027-yə qarşı σ = 1 vahid), buna görə bir sigma ilə görünməsi üçün (1/0,027)² ≈ 1.400 fırlanma lazımdır. Ortalamanın yaxınlaşması isə cəmi geri çəkmir; yalnız keçmiş dalğalanmaları seyrəldir.
Digər mərclər üçün yaxınlaşma
Tək rəqəm mərclərimərcTək rəqəm mərciBir rəqəm; 35:1 ödəyir.Tam oxuyun → üçün σ = 5,84-dür; eyni hesab üstünlüyün bir sigmaya çatması üçün (5,84/0,027)² ≈ 47.000 fırlanma verir. Tək rəqəm mərci edən oyunçu öz qeydlərində üstünlüyün şansdan seçilmədiyi halda illərlə oynaya bilər, halbuki bunu bir neçə həftədə görən qırmızı oyunçusu ilə tam eyni 2,70%-i ödəyir.
Sistemləri sınaqdan keçirmək üçün nəticə
Sistemin işlədiyini iddia edən hər kəs sənədləşdirilmiş müsbət orta ilə bunu 10.000 və ya daha çox fırlanma üzrə göstərə bilməlidir. 1.000 fırlanmada bərabər ödənişdə müsbət orta sıfır fərziyyəsi altında beşdə bir hadisədir; 100 fırlanmada demək olar sikkə atışı qədərdir. Bu saytdakı simulyatorlar seçdiyiniz uzunluqda 2.000 sessiyanı bir saniyədə işlədir; bu, istənilən şəxsi hekayədən daha çox sübutdur.
Düstur
Suallar
Oynadıqca yenidən irəlidə olma ehtimalınızriyaziyyatEhtimalNəticənin baş vermə şansı, 0–1 və ya 0%–100% arasında. Bir rəqəm: 1/37 = 2,70%.Tam oxuyun → sıfıra doğru azalır. Cəm hədsiz aşağı sürüşür.
Xeyr. Bu o deməkdir ki, keçmiş dalğalanmalar daha böyük nümunənin daha kiçik hissəsinə çevrilir.
Bərabər ödəniş üçün üstünlüyün aydın görünməsi təxminən 10.000 fırlanma tələb edir. Tək rəqəm mərcləri üçün təxminən 50.000.
Riyaziyyatla əylənin
Əvvəl bunları özünüz həll etməyə çalışın. Hər həll qatlanıb; hazır olanda açın.
İki dost ədalətli oyununriyaziyyatƏdalətli oyunHeç bir tərəfin üstünlüyünün olmadığı oyun: hər mərcin gözlənilən dəyəri sıfırdır.Tam oxuyun → 20 raundunu oynayır: ya sikkə atışı, ya da qırmızımərcQırmızı18 qırmızı rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: rouge.Tam oxuyun → ilə qaramərcQara18 qara rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: noir.Tam oxuyun → arasındakı mərc; sıfırlarçarxSıfırHeç bir bərabər ödənişli, düjün və ya sütun mərcinin əhatə etmədiyi tək yaşıl xana; kazino üstünlüyünün mənbəyi. Həmçinin: tək sıfır, 0.Tam oxuyun → geri qaytarılır və onlar cari hesabı saxlayır. Hər birinin öndə olduğu raundları sayın (bərabərlik dərhal əvvəl öndə olanın xeyrinə sayılır). Hansı daha ehtimallıdır: liderliyin 10 raunddan 10 raunda bərabər bölüşdürülməsi, yoxsa bir dostun 20 raundun hamısında öndə olması?
Həlli göstərin
Cavab Bir dostun bütün 20 raundda öndə olması çox daha ehtimallıdır: hər iki dost nəzərə alınmaqla 35,2%, bərabər 10-a 10 üçün isə 6,1%.
Ədalətli cari hesabın 2k raunddan sonra bərabər olma ehtimalı u = C(2k, k)/2²ᵏ-dir: 10 raunddan sonra 0,246, 20 raunddan sonra 0,176. Klassik nəticə olan arksinus qanunu deyir ki, adı çəkilən bir dostun 2n raunddan dəqiq 2k raund öndə olma ehtimalı u(2k) × u(2n − 2k)-dır.
Bütün 20 raundda liderlik: hər dost üçün u(20) × u(0) = 0,176, hər ikisindən biri üçün 35,2%. Bərabər pay: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, bütün paylanmalar içində ən az ehtimallısı.
Beləliklə, ədalətli oyunda liderlik nadir hallarda əl dəyişir. Bütün axşam öndə və ya geridə olan oyunçu qeyri-adi heç nə görməyib; bu, çarx və ya bacarıq barədə heç nə demir. Epstein (2013) daha uzun oyunlar üçün eyni qanunu verir: vaxtın yarısında şanslı tərəf oyunun 85%-dən çoxunda öndə olur.
Yumoristik fasilə
Ortalama yaxınlaşır. Cəm sadəcə uzaqlaşır.
Mənbələr
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, cild 1.