Məsələ: masa limiti
$500 masada $10-lıq Martingeyl. Nə qədər tez-tez qırılır, qırıldıqda nə qədər itirir və həddi artırmaq kömək edirmi?
Ardıcıl altı uduzma onu qırır: hər dövrədə 1,8%, 100 fırlanmalı sessiyaların təxminən 60%-i. Qırılma $630-a başa gəlir. Həddi $5.000-ə qaldırmaq qırılmanı daha seyrək (hər dövrədə 0,25%) və daha böyük ($5.110) edir. Mərc edilən hər dollar üçün gözlənilən itki istənilən həddə 2,70%-dir.
Məsələ
Oyunçu qırmızıyamərcQırmızı18 qırmızı rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: rouge.Tam oxuyun → $10 mərc edir, hər uduzmadan sonra ikiqat artırır, qələbədən sonra sıfırlayır. Masanın maksimumu $500-dür. (a) Ardıcıl neçə uduzma proqressiyanıstrategiyaProqressiyaƏvvəlki nəticələrə əsasən mərc məbləğini dəyişən hər qayda. Mənfi proqressiyalar uduzmadan sonra, müsbət proqressiyalar isə qələbədən sonra artırır.Tam oxuyun → qırır? (b) Hər dövrədə ehtimalriyaziyyatEhtimalNəticənin baş vermə şansı, 0–1 və ya 0%–100% arasında. Bir rəqəm: 1/37 = 2,70%.Tam oxuyun → nədir? (c) Qırılmada nə itirilir? (d) $5.000 həddi cavabları necə dəyişir? (e) Hər hansı hədd sistemi gəlirli edir?
Həllər (a)–(c)
Mərc məbləğləri: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Yeddinci 640 > 500 olardı, buna görə altı uduzma sistemi qırır. (b) qırmızıda p(uduzma) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, yəni hər dövrədə təxminən 1,8%. Dövrə orta hesabla təxminən iki fırlanma çəkir, buna görə 100 fırlanmalı sessiyada təxminən 50 dövrə olur və p(ən azı bir qırılma) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630; dövrənin qazanmağa çalışdığı $10-a qarşı bu, 63 əsas vahidpulVahidSistemin və ya oyunçunun işlədiyi əsas mərc məbləği. Proqressiyalar vahidlərlə təsvir edilir ki, istənilən masaya tətbiq olunsun.Tam oxuyun →dir.
Həll (d)
$5.000-də: 2.560-a qədər mərclərə icazə verilir; 5.120-lik onuncu mərc rədd olunur. Doqquz uduzma sistemi qırır: (19/37)⁹ ≈ hər dövrədə 0,25%, 100 fırlanmalı sessiyaların təxminən 11%-ində. Qırılmada itki: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Oyunçu daha böyük fəlakət bahasına daha seyrək bir fəlakət əldə etmişdir. Çox sayda sessiyada qırılmaların gözlənilən xərci $500 həddində p × itki ≈ 0,0183 × 630 = hər dövrəyə $11,5, $5.000-də isə 0,0025 × 5.110 = $12,8-dir; yuvarlaqlaşdırma daxilində eyni rəqəmdir və bu, dövrənin gözlənilən itkisindənriyaziyyatGözlənilən itkiGözlənilən dəyərin ümumi mərc edilmiş məbləğə hasili; sessiya və ya dövr ərzində itirilən orta məbləğ.Tam oxuyun → uğurlu dövrələrin qazandığı $10 çıxıldıqdan sonrakı məbləğdir.
Həll (e)
Xeyr. Dövrə başına gözlənilən itki = (dövrədə gözlənilən ümumi mərc) / 37-dir, istənilən həddə; çünki hər mərc özünün −1/37-si qədərdir. Hədd yalnız itkinin çoxlu kiçik qələbə və az sayda böyük itki arasında necə bölündüyünü müəyyən edir. Masa həddi olmasa və sonsuz oyun büdcəsipulOyun büdcəsiOyun üçün ayrılmış ümumi məbləğ. Oyun büdcəsinin idarə olunması hər mərc və hər sessiya üçün onun nə qədərini riskə atacağınıza qərar verməkdir.Tam oxuyun → olsaydı, proqressiya heç vaxt qırılmaması mənasında “işləyərdi”, lakin gözlənilən itkisi həmin hədsiz məbləğin 2,70%-i olan hədsiz pul mərc edərdi. Masa həddimasaMasa limitiİcazə verilən minimum və maksimum mərc. Maksimum ikiqatlama proqressiyalarını dayandıran şeydir.Tam oxuyun → MartingeylinstrategiyaMartinqeylHər uduzmadan sonra mərci ikiqat artıran proqressiya. Nə etdiyi və etmədiyi üçün Strategiya bölməsinə baxın.Tam oxuyun → işləməsini dayandıran şey deyil. Hesabdır.
İki həqiqi masa
Thorpun nümunəsində minimum mərci $1, maksimumu isə $1.000 olan masa var; oyunçu hər dəfə bir dollarla nahar üçün $30 qazanmağa ümid edir. 1, 2, 4 … 512 mərc məbləğləri on mərci mümkün edir; buna görə ardıcıl on uduzma proqressiyanı qırır: Avropa çarxında 785 dövrədə bir (Amerikada 613 dövrədə bir) və bunun qiyməti $1.023 olur. Otuz dövrənin hamısı 96,2% hallarda uğurlu olur. Digər 3,8%-də təxminən $1.000 itirilir; axşamın orta nəticəsi isə −$9,17-dir ki, bu da otuz dövrənin orta hesabla mərc etdiyi $339-un tam 1/37-sidir. Minimum mərci $5, maksimumu $2.000 olan masa fərqli deyil: $1.280-ə qədər mərc məbləğləri doqquz mərci mümkün edir, qırılma Avropa çarxında 403 dövrədə bir (Amerikada 323 dövrədə bir) baş verir və $2.555-ə başa gəlir.
Varlı oyunçu
Aşağı masa həddi əvəzinə proqressiyaya böyük oyun büdcəsi verin: 1.000 vahid, bir vahid başlanğıc və qırmızıya 1.000 fırlanma; növbəti ikiqat qalan məbləğdən çox olduqda yenidən bir vahiddən başlayın. Bir milyon belə axşamı simulyasiya etdik. Avropa çarxında 52% irəlidə bitirir, 21% hər şeyi itirir və orta nəticə −124 vahiddir. Hətta hər mərcin ədalətli olduğu sıfırsızçarxSıfırHeç bir bərabər ödənişli, düjün və ya sütun mərcinin əhatə etmədiyi tək yaşıl xana; kazino üstünlüyünün mənbəyi. Həmçinin: tək sıfır, 0.Tam oxuyun → oyunda yalnız təxminən 60% irəlidə bitirərdi. Adi axşam kiçik qələbədir; ortanı sıfırda bitən axşamlar ödəyir.
Dərs
Kazinolar sistemləri məğlub etmək üçün yox, öz dispersiyalarınıriyaziyyatDispersiyaNəticələrin gözlənilən dəyər ətrafında nə qədər geniş səpələndiyini ölçən göstərici. Tək rəqəm mərcində yüksək, bərabər ödənişli mərclərdə aşağıdır.Tam oxuyun → məhdudlaşdırmaq üçün hədlər qoyurlar. Martingeyli məğlub etmək onların məmnuniyyətlə qəbul etdiyi yan təsirdir; riyazi hesab onsuz da onu məğlub edərdi. Həddin problem olduğunu düşünən oyunçu uçurumu tapıb onu yamacla səhv salıb.
Düstur
Suallar
Sizi qırılmanın daha seyrək və daha böyük olduğu daha yüksək həddə qədər yaşadar. Hər dollar üçün gözlənilən itki dəyişmir.
Mərc məbləğləri 10, 30, 70, 150, 310: $500 həddinə beş uduzmadan sonra çatılır, qırılma $570-ə başa gəlir. Eyni 2,70%.
Bir oyunçunun kazinonun ehtiyatının rahatlıqla ödəyə biləcəyindən çox mərc etməməsi üçün. Dispersiyanın idarə edilməsi.
Riyaziyyatla əylənin
Əvvəl bunları özünüz həll etməyə çalışın. Hər həll qatlanıb; hazır olanda açın.
MartingalestrategiyaMartinqeylHər uduzmadan sonra mərci ikiqat artıran proqressiya. Nə etdiyi və etmədiyi üçün Strategiya bölməsinə baxın.Tam oxuyun → qırmızıyamərcQırmızı18 qırmızı rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: rouge.Tam oxuyun → $100-la başlayır və dövrə ərzində ən çox n mərcə icazə verir: ardıcıl n məğlubiyyətdən sonra dayanır və yenidən başlayır. Bir dövrənin orta nəticəsini n ilə düstur şəklində yazın və Avropa çarxında 5, 6 və 7 mərc üçün hesablayın.
Həlli göstərin
Cavab Orta nəticə 100 × (1 − (38/37)ⁿ)-dir: 5 mərc üçün −$14,26, 6 üçün −$17,35, 7 üçün −$20,52. Daha çox mərcə icazə vermək orta dövrəni yaxşılaşdırmır, pisləşdirir.
Bütün n mərc uduzmasa, dövrə $100 qazanır; bütün n mərcin uduzması isə q = 19/37 olduqda qⁿ ehtimalla baş verir. Hamısı uduzduqda 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ məbləğləri 100 × (2ⁿ − 1) edir. Buna görə orta nəticə 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)-dir.
Burada 2q = 38/37, 1-dən bir qədər böyükdür; buna görə (2q)ⁿ n ilə böyüyür, orta nəticə isə azalır: n = 5 üçün 1,1426 və −$14,26; n = 6 üçün 1,1735 və −$17,35; n = 7 üçün 1,2052 və −$20,52. Daha uzun pilləkən 3,6%, 1,8% və 0,9% dövrədə daha az uduzur, lakin hər itki ikiqat böyükdür və hər dövrədə daha çox pul masadan keçir, hər mərcin 2,70%-i qədər.
Amerika çarxında 2q = 40/38 olur və rəqəmlər −$29,24, −$36,04 və −$43,20-dir (Taylor, 2021). SıfırıçarxSıfırHeç bir bərabər ödənişli, düjün və ya sütun mərcinin əhatə etmədiyi tək yaşıl xana; kazino üstünlüyünün mənbəyi. Həmçinin: tək sıfır, 0.Tam oxuyun → olmayan oyunda 2q = 1-dir və pilləkən nə qədər uzun olsa da hər dövrə orta hesabla tam sıfır verir.
“Böyük Martingale” məğlubiyyətdən sonra mərc məbləğini ikiqat artırır və bir vahidpulVahidSistemin və ya oyunçunun işlədiyi əsas mərc məbləği. Proqressiyalar vahidlərlə təsvir edilir ki, istənilən masaya tətbiq olunsun.Tam oxuyun → əlavə edir; beləliklə məbləğlər 1, 3, 7, 15, 31 … olur. İlk qələbə 1-ci, 2-ci, 3-cü və ya k-cı mərcdə gəldikdə nə qədər öndəsiniz? $10 vahid və $500 maksimumda dövrə nə qədər tez-tez qırılır və orta hesabla nə qədər başa gəlir?
Həlli göstərin
Cavab k-cı mərcdə qələbə sizi k vahid irəli aparır: +1, +2, +3 və belə davam edir. $10 və $500-də dövrə beş məğlubiyyətdən sonra, dövrələrin 3,57%-ində qırılır və −$570 verir. Orta hesabla dövrə $85,73 qoyuluşdan $2,32 itirir: 2,70%.
k-cı mərc 2ᵏ − 1 vahiddir: 1, 3, 7, 15, 31. İlk k − 1 mərcin cəmi 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1-dir. k-cı mərcdə qələbə 2ᵏ − 1 ödəyir; deməli dövrə (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k vahid qazançla bitir: əvvəlki hər məğlubiyyət üçün bir əlavə vahid.
$10 vahiddə məbləğlər $10, $30, $70, $150 və $310-dur; növbəti $630 $500 maksimumunu keçir. Ardıcıl beş məğlubiyyət, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 başa gəlir.
Orta: qələbələr k = 1-dən 5-ə qədər (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ehtimalla $10 × k gətirir, qırılma isə 3,57% ehtimalla $570 alır; birlikdə −$2,32. Qoyulan pul bir dövrədə orta hesabla $85,73-dür və 2,32/85,73 = 2,70%. Eyni masada adi Martingale altı məğlubiyyətdən sonra, dövrələrin 1,83%-ində qırılır və −$630 verir; $64,20 qoyuluşdan $1,74 itirir: yenə 2,70%.
Oyunçu ilk mərc $1 olmaqla qırmızıya Martingale planlaşdırır; masa limiti $1.000-dir, buna görə on mərc mümkündür: $1, $2, $4 və $512-yə qədər beləcə. Dövrə on mərcin hamısını nə qədər tez-tez itirir, bu orta hesabla nə qədər vaxt aparır və 200 mərclik axşam nə qədər tez-tez belə bitir?
Həlli göstərin
Cavab Dövrə on mərcin hamısını təxminən 784-də bir itirir və bu $1.023 başa gəlir. Bu, orta hesabla təxminən 1.600 mərc edir; 200 mərclik axşam isə təxminən 11% hallarda həddə çatır. Dövrə hələ də orta hesabla $11,31 qoyuluşdan $0,31 itirir: 2,70%.
Qırmızıya mərc sıfır da daxil olmaqla 19/37 ehtimalla uduzur. Ardıcıl on: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, təxminən 784-də 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 məbləğlərinin cəmi $1.023-dür.
Bir dövrə orta hesabla 2,05 mərc çəkir, beləliklə 784 dövrə təxminən 1.600 mərc edir. Fırlanma-fırlanma saydıqda, 200 mərcin harasındasa onluq məğlubiyyət seriyası 11,3% hallarda çıxır.
Fəlakətlər arasında oyunçu bir dövrədə $1 qazanır: pis dövrəyə qədər təxminən $783, sonra −$1.023, bütün dövr üçün təxminən −$240. Hər dövrə üçün: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Hər dövrədə qoyulan pul: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Və −0,31/11,31 = −2,70%.
$500 limitdə, altı mərc üzrə ilk mərcin $10 olması ilə müqayisə edin: hədd hər 55 dövrədə bir gəlir və 200 mərclik axşam onu 84% hallarda qarşılayır. Daha yüksək limit qəzanı daha seyrək və daha böyük edir, daha ucuz yox.
Yumoristik fasilə
Hər həddə daha seyrək və daha böyük. Hasil sabitdir.
Mənbələr
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2-ci nəşr.