Müflisləşmə riski
Hədəfə çatmazdan əvvəl bütün oyun büdcənizi itirmə ehtimalı.
Bərabər ödənişli mərclər üçün iflas riski qumarbazın iflası düsturuna uyğundur. $500 oyun büdcəsi, $10 mərc və $600 hədəflə təxminən 57% hallarda hədəfə çatırsınız, qalan hallarda isə oyun büdcəniz tükənir.
Sual
a vahidpulVahidSistemin və ya oyunçunun işlədiyi əsas mərc məbləği. Proqressiyalar vahidlərlə təsvir edilir ki, istənilən masaya tətbiq olunsun.Tam oxuyun → oyun büdcənizpulOyun büdcəsiOyun üçün ayrılmış ümumi məbləğ. Oyun büdcəsinin idarə olunması hər mərc və hər sessiya üçün onun nə qədərini riskə atacağınıza qərar verməkdir.Tam oxuyun → var və a + b vahidə çatmaq istəyirsiniz; hər dəfə bir vahidi bərabər ödənişli mərcmərcBərabər ödənişli mərcQırmızı/qara, tək/cüt, yüksək/aşağı. 18 rəqəm; 1:1 ödəyir.Tam oxuyun →ə qoyursunuz, burada qələbə ehtimalıriyaziyyatEhtimalNəticənin baş vermə şansı, 0–1 və ya 0%–100% arasında. Bir rəqəm: 1/37 = 2,70%.Tam oxuyun → p = 18/37, məğlubiyyət ehtimalı isə q = 19/37-dir. Sıfıra çatmazdan əvvəl hədəfə çatmaq şansınız nədir? Cavabı 1650-ci illərdə Pascal, Fermat və Huygens işləyib hazırlamışdı; bu, ehtimallar nəzəriyyəsində ən qədim nəticələrdən biridir.
Qumarbazın iflası düsturu
P(hədəfə çatmaq) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). İflas riskiriyaziyyatMüflisləşmə riskiHədəfə və ya fırlanma sayına çatmazdan əvvəl bütün oyun büdcəsini itirmə ehtimalı.Tam oxuyun → bundan bir çıxılır. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 olduqda nisbət vahidlərin sayı ilə eksponensial artır; buna görə düstur kiçik vahidləri ciddi cəzalandırır: hədəfə çatmaq üçün nə qədər çox mərc tələb olunursa, yolda 2,70%-lik rüsum bir o qədər çox dəfə ödənir.
Düsturun şərhi
Daha kiçik vahidlər zərər verir. $10-luq mərclərlə $500-ü ikiqat artırmağa cəhd halların 6%-də uğurlu olur; tək $500-luq mərc ilə bu 48,6%-dir. Cəsarətli oyun, yəni az sayda və böyük mərclər, mənfi gözlənilən dəyərli oyunda hədəfə çatmaq şansını maksimuma çatdırır, çünki üstünlüyün tətbiq olunduğu say minimuma enir. Bu, həm də başınıza gələnlərin dispersiyariyaziyyatDispersiyaNəticələrin gözlənilən dəyər ətrafında nə qədər geniş səpələndiyini ölçən göstərici. Tək rəqəm mərcində yüksək, bərabər ödənişli mərclərdə aşağıdır.Tam oxuyun →sını maksimuma çatdırır və axşamı tez bitirir. Teorem “cəsarətli oyun optimaldır” adlanır; onu 1965-ci ildə Dubins və Savage sübut etmişdir.
Məsələ haradan başladı
Bu sual ruletdən daha qədimdir. 1656-cı ildə Pascal Fermata bir tapmaca göndərdi: iki oyunçu hərəsi 12 jetonla üç zər atır; 11 düşdükdə bir jeton bir istiqamətdə, 14 düşdükdə o biri istiqamətdə hərəkət edir. Hər ikisi onu həll etdi; riyaziyyatçı Pierre de Carcavidən məktubla xəbər tutan Huygens isə bunu 1657-ci ildə ehtimallar haqqında ilk kitabın beşinci məsələsi kimi cavabı ilə, lakin sübutsüz çap etdi. On biri 27 üsulla, on dördü isə yalnız 15 üsulla atmaq olar; deməli, hər jeton 14 haldan 9-da birinci oyunçunun istiqamətində hərəkət edir və yuxarıdakı düstur, hərəyə 12 jeton verildikdə, onun hər şeyi qazanma ehtimalını hər şeyi itirmə ehtimalından təxminən 1.157 dəfə çox edir. 2,70%-lik üstünlük xeyli kiçikdir, amma eyni düstur onun çoxsaylı mərclərdə nə etdiyini göstərir.
Həqiqi cəsarətli mərc
2004-cü ilin aprelində gənc ingilis Ashley Revell geyimləri də daxil olmaqla sahib olduğu demək olar hər şeyi satdı və Las-Veqasdakı Plaza-ya $135.300 apardı. Bir neçə kiçik mərcdən sonra bütün məbləği bir dəfə qırmızımərcQırmızı18 qırmızı rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: rouge.Tam oxuyun →ya qoydu. TopavadanlıqTopRotora qarşı istiqamətdə yol boyunca buraxılan kiçik top. Müasir toplar ivorin və ya teflondan olur, 18–21 mm.Tam oxuyun → qırmızı 7-yə düşdü və o, $270.600 ilə çıxdı. İkiqat sıfırçarxSıfırHeç bir bərabər ödənişli, düjün və ya sütun mərcinin əhatə etmədiyi tək yaşıl xana; kazino üstünlüyünün mənbəyi. Həmçinin: tək sıfır, 0.Tam oxuyun → çarxında həmin tək fırlanma 47,37% şans idi və bir mərcdə 5,26%-lik üstünlük ona orta hesabla $7.121 başa gəlirdi. $10-luq mərclərə yayılsaydı, eyni hədəf demək olar ki, ümidsiz olardı. Cəsarətli oyun mərci yaxşı etmir; onu mümkün qədər qısa edir.
Hədəfsiz iflas riski
Sadəcə oyun büdcəniz tükənənə qədər oynayırsınız və ya N fırlanmadan sonra dayanırsınızsa, sual “N fırlanma ərzində oyun büdcəmin sıfıra toxunması ehtimalı nədir?” olur. Ümumi N üçün qapalı düstur yoxdur, lakin bu saytdakı simulyatorlar bunu hesablayır: qırmızıya hər dəfə $10 qoyulan $500 oyun büdcəsi 100 fırlanmada demək olar ki, heç vaxt tükənmir (1%-dən az), 500 fırlanmada təxminən 9% hallarda, 5.000 fırlanmada isə təxminən 95% hallarda tükənir. Dayanma qaydası olmadıqda ehtimal 100%-ə yaxınlaşır; bu, kazino üstünlüyüriyaziyyatKazino üstünlüyüKazino hər mərc məbləğinin orta hesabla saxladığı pay: Avropa ruletində 2,70%.Tam oxuyun →nün uzunmüddətli görnüşüdür.
- p10 −$500
- p25 −$500
- median −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Nə qədər davam edir və nə qədər irəlidə
Daha iki klassik nəticə oyunçuların həqiqətən verdiyi suallara cavab verir. Hədəf olmadıqda, sabit bərabər ödənişli mərclər Avropa çarxında hər oyun büdcəsi vahidi üçün orta hesabla 37 fırlanma, Amerika çarxında isə 19 fırlanma davam edir; çünki hər fırlanma orta hesabla vahidin 1/37-sini (Amerika çarxında 1/19-unu) götürür: 100 vahid orta hesabla 3.700 fırlanma davam edir, baxmayaraq ki, belə sessiyaların yarısı 3.134 fırlanma içində bitir (Sessiyanın Müddəti və Dəyərinə baxın). Oyun büdcəsi nə qədər böyük olursa olsun, Avropa çarxında nə vaxtsa k vahid irəlidə olmaq şansı (18/19)ᵏ-dir. Bu, bir vahid üçün 95%, on vahid üçün 58%-dir, lakin oyun büdcəsi nə qədər böyük olsa da, nə vaxtsa 13 vahid irəlidə olmaq üçün bərabər şans vermir; Amerika çarxında ehtimal (9/10)ᵏ-dir və 7 vahiddə yarıdan aşağı düşür.
Əlli-əlli şans üçün oyun büdcəsi
Sualı tərsinə çevirin: hər şeyi itirməzdən əvvəl müəyyən məbləği qazanmaq üçün ən azı əlli-əlli şansa malik olmaq üçün nə qədər pul gətirməlisiniz? Kiçik qazanc üçün çox deyil. Daha böyük qazanc üçün tələb olunan oyun büdcəsi kəskin artır və müəyyən həddən sonra heç bir oyun büdcəsi kifayət etmir; çünki sonsuz oyun büdcəsi belə nə vaxtsa bu qədər irəliləmək üçün əlli-əlli şansdan az verir. Taylor (2021) bunu başqa cür ifadə edir: Amerika çarxında 100 vahidə çatmaq üçün əlli-əlli şansa malik olmaq istəyirsinizsə, 94-lə başlamalısınız; 6 qazanmaq üçün 94 risk edirsiniz. Avropa çarxında 88 tələb olunardı.
Praktik dərs
Nə etməyə çalışdığınıza qərar verin. Məqsəd müəyyən qazancdırsa, az sayda böyük mərc edin. Məqsəd uzun axşamdırsa, kiçik mərc edin və üstünlüyün böyük dövriyyəpulDövriyyəYenidən mərc edilmiş qazanclar da sayılmaqla, sessiya və ya dövr ərzində mərc edilmiş ümumi məbləğ. Həmçinin: handle, action.Tam oxuyun →nin 2,70%-ni götürəcəyini qəbul edin. Məqsəd hər ikisidirsə, nədənsə imtina etmək lazımdır və bu, adətən hədəf olur.
Düstur
Suallar
MartingeylstrategiyaMartinqeylHər uduzmadan sonra mərci ikiqat artıran proqressiya. Nə etdiyi və etmədiyi üçün Strategiya bölməsinə baxın.Tam oxuyun → qısa sessiyalar üçün onu azaldır, uzun sessiyalar üçün isə kəskin artırır. Daha böyük vahiddə sabit mərcstrategiyaSabit mərcHər fırlanmada eyni məbləği mərc etmək. Hər proqressiyanın müqayisə edildiyi əsas xətt.Tam oxuyun → onu azaltmağın dürüst yoludur.
Yuxarıdakı düstur bərabər ödəniş üçündür. Yüksək dispersiyalı mərclərdə kiçik mərc məbləğlərində iflas daha ehtimallıdır və hədəfə daha qeyri-bərabər şəkildə çatılır; kalkulyatordan istifadə edin.
Hədəfə doğru hər addım iflasa doğru hər addımdan bir qədər az ehtimallıdır; nisbət addımların sayı boyunca yığılır.
Riyaziyyatla əylənin
Əvvəl bunları özünüz həll etməyə çalışın. Hər həll qatlanıb; hazır olanda açın.
$100-ünüz var və yalnız qırmızıyamərcQırmızı18 qırmızı rəqəmə edilən bərabər ödənişli mərc. Fransızca: rouge.Tam oxuyun → mərc etməklə $1.000-ə çatmaq istəyirsiniz. Birinci plan: hər dəfə $1 mərc edin. İkinci plan: $500-ü keçənədək bütün pulunuzu, sonra $1.000-ə çatmağa yetəcək qədər mərc edin. Hansı plan daha yaxşıdır və fərq nə qədərdir?
Həlli göstərin
Cavab İkinci plan çox daha yaxşıdır. Təxminən 9,0% hallarda $1.000-ə çatır, ədalətli 10%-ə yaxındır. Birinci plan təxminən 10²²-də 7 dəfə uğur qazanır.
Ədalətli oyundariyaziyyatƏdalətli oyunHeç bir tərəfin üstünlüyünün olmadığı oyun: hər mərcin gözlənilən dəyəri sıfırdır.Tam oxuyun → nə etsəniz də $100-dən $1.000-ə hər on dəfədən bir çatardınız, çünki pulunuzun orta dəyəri $100 qalır.
Kazino üstünlüyü hər mərcin 2,70%-ni alır, buna görə ümumilikdə nə qədər az mərc etsəniz, onda birə bir o qədər yaxın qalırsınız. İkinci plan məsələni bir neçə mərclə həll edir: $100 $200, $400, $800 olur və sonra $200 kifayətdir. Təxminən 9,0% hallarda uğur qazanır. Birinci plan gediş bitməzdən əvvəl minlərlə mərc çəkir və hər birində kiçik olan üstünlük toplanaraq demək olar ki, qaçılmaz iflasa gətirir.
Bu, Dubins–Savage nəticəsinin ən sadə formasıdır (Epstein, 2013): kazinoya üstünlük verən oyunda ehtiyacınız olan qədər, mümkün qədər az sayda mərc edin.
$500-ünüz var və $1.000 istəyirsiniz; çatan kimi dayanacaqsınız. Bir mərc növünü seçirsiniz və o bir dəfə qalib gələnədək və ya pulunuz bitənədək onu təkrar edirsiniz. Hansı növ ən yaxşı şansı verir?
Həlli göstərin
Cavab Qırmızıya bir $500 mərc: 48,6%. Pulu daha kiçik mərclərə bölən hər plan daha pisdir.
Hər mərc məbləğini elə seçin ki, bir qələbə kifayət etsin: tək rəqəm mərcimərcTək rəqəm mərciBir rəqəm; 35:1 ödəyir.Tam oxuyun → üçün qoyulan $30 $1.050 qazandırır, bölünmüş mərcmərcBölünmüş mərcİki bitişik rəqəm; 17:1 ödəyir.Tam oxuyun → üçün qoyulan $60 isə $1.020 qazandırır və s. Sonra pul bitməzdən əvvəl ən azı bir mərcin qələbə ehtimalını sayın. On altı $30-luq tək rəqəm mərci hamısı (36/37)¹⁶ = 64,5% ehtimalla qaçır, buna görə 35,5% hallarda $1.000-ə çatır.
Cədvəl hər mərc növünü göstərir. Qırmızı ən yaxşısıdır, çünki bir mərcdə hədəfə çatır və üstünlük $500 üzərində yalnız bir dəfə ödənir. Altılıq mərcmərcAltılıq mərcİki bitişik sırada altı rəqəm; 5:1 ödəyir. Fransızca: sixain.Tam oxuyun → ikinci olur, çünki yalnız üç mərc lazımdır. Tək düjünmərcDüjün1–12, 13–24 və ya 25–36; 2:1 ödəyir.Tam oxuyun → mərc ən pisidir, 12/37 şansdır; hətta $1.000 və ya daha çox olana qədər $250 vahidləpulVahidSistemin və ya oyunçunun işlədiyi əsas mərc məbləği. Proqressiyalar vahidlərlə təsvir edilir ki, istənilən masaya tətbiq olunsun.Tam oxuyun → oynandıqda belə düjün yalnız 46,4% hallarda hədəfə çatır.
Bollman (2024) Amerika çarxı üçün eyni cədvəli qurur. Onun düjün sətrində səhv var: 12/38 = 31,6% yazılmalıdır.
mərcmərc məbləği × mərclərin sayı$1.000-ə çatma ehtimalıTək rəqəm$30 × 1635,5%Bölünmüş mərc$60 × 835,9%Sıra$90 × 534,5%Künc$125 × 436,7%Altılıq mərc$166, $166, $16841,2%Düjün$500 × 132,4%Qırmızı$500 × 148,6%Sonsuz oyun büdcəsipulOyun büdcəsiOyun üçün ayrılmış ümumi məbləğ. Oyun büdcəsinin idarə olunması hər mərc və hər sessiya üçün onun nə qədərini riskə atacağınıza qərar verməkdir.Tam oxuyun → ilə fırlanma-fırlanma qırmızıya bir vahid mərc edirsiniz. Birinci fırlanmadan sonra bir vahid öndə və ya bir vahid geridəsiniz. Yenidən nə vaxtsa tam bərabər olma ehtimalı nədir?
Həlli göstərin
Cavab 37-dən 36, yəni 97,3%. Amerika çarxında 38-dən 36, yəni 94,7%.
Birinci fırlanma qalib gəlsə (37-dən 18 dəfə), bir vahid öndəsiniz və üstünlük hər sonsuz sessiyanı aşağı çəkir, buna görə gec-tez yenidən bərabərdən keçəcəksiniz: bu qətidir. Uduzsa (37-dən 19 dəfə), bir vahid qalxmalısınız; bir vahid öndə olma ehtimalı 18/19-dur (yuxarıdakı cədvələ baxın).
Birlikdə: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Ümumiyyətlə ehtimal fırlanmada qələbə və məğlubiyyət ehtimalları arasındakı fərqdən 1 çıxılmasına bərabərdir: Avropa çarxında 1 − 1/37, Amerika çarxında 1 − 2/38. SıfırsızçarxSıfırHeç bir bərabər ödənişli, düjün və ya sütun mərcinin əhatə etmədiyi tək yaşıl xana; kazino üstünlüyünün mənbəyi. Həmçinin: tək sıfır, 0.Tam oxuyun → oyunda fərq yoxdur və ehtimal 1-dir: hesab həmişə yenidən bərabərə qayıdır. Epstein (2013) ümumi qaydanı verir.
Pascalın 1656-cı il tapmacası: iki oyunçu hərəsi 12 sayğacla üç zər atır. Hər 11 çıxdıqda bir sayğac birinci oyunçuya, hər 14 çıxdıqda isə biri ikinciyə keçir; digər atışlar sayılmır. Birinci oyunçunun bütün 24 sayğacı qazanma ehtimalı nədir? Əvəzində dostunuza bank rolunu verdiyiniz, hərənizin 12 vahidi olduğu oyunda hər fırlanmada qırmızıya 1 vahid mərc etsəniz, bütün 24 vahidi qazanma ehtimalınız nədir?
Həlli göstərin
Cavab Birinci oyunçu təxminən 1.158 dəfəlik oyundan 1.157-də qalib gəlir. Siz qırmızıda bütün 24 vahidi yalnız təxminən 34% hallarda qazanırsınız.
Üç zər 11-i 27, 14-ü 15 üsulla verir, buna görə hər hərəkət edən sayğac 42-dən 27 dəfə birinci oyunçuya, yəni 14-dən 9 dəfə gedir. Hər tərəf 12 ilə başlayanda hamısını alma ehtimalı 1/(1 + r¹²)-dir; burada r digər tərəfin ehtimalının sizinkinə nisbətidir.
Birinci oyunçu üçün r = 5/9 və (5/9)¹² ≈ 0,00086, buna görə ehtimal təxminən 0,99914-dür: 9¹²-nin 5¹²-yə nisbəti, yaxud 282.429.536.481-in 244.140.625-ə nisbəti, təxminən 1.157-yə 1. Huygens bu rəqəmləri 1657-ci ildə dəqiq çap etmişdi.
Qırmızıda r sıfıra görə 19/18-dir və (19/18)¹² ≈ 1,913; ehtimalınız 1/2,913 ≈ 34,3%-dir. Sikkə 50% verərdi. Hər mərcdəki 2,70% üstünlük, lazım olan çoxsaylı mərclər boyunca toplanaraq 16 bəndlik fərq yaradır.
Yumoristik fasilə
Cəsarətli oyun optimaldır. Həm də tez bitir.
Mənbələr
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Huygensə məktub, 28 sentyabr 1656: Pascalın Fermata verdiyi problem haqqında.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”